Нужны деньги? Оформь максимум заявок - увеличь шансы получения до 100%

Ставка: 0% в день

  • Сумма: до 200 000 тг
  • Срок: 5 – 31 дней
  • Возраст: от 18 лет
  • Куда:

Ставка: 0.123% в день

  • Сумма: до 1 500 000 тг
  • Срок: от 3 до 24 мес.
  • Возраст: от 21 до 68 лет
  • Куда:

-50%

Ставка: 0.27% в день

  • Сумма: до 150 000 тг
  • Срок: 7 – 31 дней
  • Возраст: 23 – 58 лет
  • Куда:

50%

Ставка: 2% в день

  • Сумма: до 200 000 тг
  • Срок: 5 – 30 дней
  • Возраст: от 18 лет
  • Куда:

-50%

Ставка: 0.27% в день

  • Сумма: до 150 000 тг
  • Срок: 7 – 31 дней
  • Возраст: 18 – 65 лет
  • Куда:

Ставка: 0.27% в день

  • Сумма: до 300 000 тг
  • Срок: 3 – 30 дней
  • Возраст: от 21 лет
  • Куда:

Ставка: 0,27 % в день

  • Сумма: до 150 000 тг
  • Срок: 7 – 31 дней
  • Возраст: от 18 до 55 лет
  • Куда:

Ставка: 0% в день

  • Сумма: до 200 000 тг
  • Срок: 5 – 30 дней
  • Возраст: от 21 до 63
  • Куда:

Ставка: 0.19% в день

  • Сумма: до 200 000 тг
  • Срок: 5 – 30 дней
  • Возраст: от 18 лет
  • Куда:

Ставка: 1% в день

  • Сумма: до 250 000 тг
  • Срок: 5-30 дней
  • Возраст: от 18 до 75 лет
  • Куда:

Ставка: 0.25% в день

  • Сумма: до 200 000 тг
  • Срок: 7 – 30 дней
  • Возраст: от 18 лет
  • Куда:

Ставка: 0.27% в день

  • Сумма: до 150 000 тг
  • Срок: 7 – 31 дней
  • Возраст: от 18 лет
  • Куда:

-50%

Ставка: 0.19% в день

  • Сумма: до 200 000 тг
  • Срок: 5 – 30 дней
  • Возраст: от 18 лет
  • Куда:

Ставка: 0% в день

  • Сумма: до 150 000 тг
  • Срок: 7 – 21 дней
  • Возраст: от 18 лет
  • Куда:

Ставка: 0.27% в день

  • Сумма: до 200 000 тг
  • Срок: 5 – 31 дней
  • Возраст: от 21 года
  • Куда:

Ставка: 0.27% в день

  • Сумма: до 250 000 тг
  • Срок: 5 – 30 дней
  • Возраст: от 18 лет
  • Куда:

Задачки по деньгам кредиту банкам

Основные формулы в задачах на вклады и кредиты

Сейчас мы незначительно отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вкупе этого разглядим более актуальную задачку из ЕГЭ по арифметике, которая имеет непосредственное отношение к нашей отсталой русской сырьевой экономике. А если быть четким, мы разглядим задачку про вклады, проценты и кредиты. Так как конкретно задачки с процентами с недавнешних пор добавлены во вторую часть одного муниципального экзамена по арифметике. Сходу оговорюсь, что за решение этой задачки согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сходу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачку одной из самых сложных.

Совместно с тем, для решения хоть какой из обозначенных задач из ЕГЭ по арифметике следует знать всего только две формулы, любая из которых полностью доступна хоть какому школьному выпускнику, но по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями различных задач для подготовки к ЕГЭ. Потому сейчас я не просто расскажу для вас, что же это все-таки за формулы и как их использовать, а выведу каждую из этих формул практически у вас на очах, взяв за базу задачки из открытого банка ЕГЭ по арифметике.

Потому урок вышел достаточно большой, достаточно содержательный, потому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.

Вкладываем деньги в банк

Сначала, хотелось бы сделать маленькое лирическое отступление, связанное с деньгами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачки. Итак, давайте незначительно отвлечемся от экзаменов, от грядущих школьных заморочек, и поглядим в будущее.

Допустим, вы выросли и собираетесь брать квартиру. Допустим, вы собираетесь брать не какую-то нехорошую квартиру на окраине, а неплохую доброкачественную квартиру за 20 миллионов рублей. При всем этом также представим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и получаете по 300 тыщ рублей за месяц. В данном случае за год вы можете отложить приблизительно три миллиона рублей.Т. е. к концу 5-ого года скоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили выше 20 миллионов рублей. Таким макаром, общий счет скоплений за счет банковских процентов снизился бы с практически 7 лет до 5 лет, т. е. практически на два года.

Но как мы уже с вами отмечали, вы получаете 300 тыщ рублей за месяц, это означает, что вы умные люди и не будете откладывать средства «под подушку», а отнесете их в банк. И, как следует, раз в год на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при всем этом более-менее выгодный банк, и потому ваши вклады раз в год будут расти на 15% годичных. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.Итак, первая задача:31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых.

В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам необходимо помножить на 1,15. Но в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Очевидно, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, так как к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:

Итак, 3-ий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. нужно всю эту сумму помножить на 1,15. И снова же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:

\[\left( 3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?Итак, сначала, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:Посмотрим, что нам известно из условия задачи.

Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:В нашем случае идет речь о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на самом деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% за месяц.

Как лицезреем, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма частей геометрической прогрессии.

Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом $<_<1>>$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:

Эту формулу непременно необходимо знать и верно использовать.

Направьте внимание: формула n-го элемента звучит последующим образом:

Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто nдля суммы n-частей, а сам n-й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы на данный момент попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то необходимо учесть последующее:

Сейчас мы можем посчитать сумму:

Посчитаем числитель раздельно:

Итого, ворачиваясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:

В конечном итоге мы получаем, что за четыре года скоплений наша начальная сумма возрастет не вчетверо, как если б мы не клали средства в банк, а в 5 раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это раздельно:

Забегая вперед, скажу, что если б мы накапливали не четыре года, а 5 лет, то в конечном итоге наша сумма скоплений возросла бы в 6,7 раза:

Другими словами, к концу 5-ого года мы бы получили на счету последующую сумму:

Очевидно, зарабатывая по 300 тыщ рублей за месяц, за год у вас получится чуток большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на пищу, на одежку и на остальные каждодневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: нужно заработать 20 миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется только три миллиона рублей в год. Появляется естественный вопрос: сколько лет нам нужно откладывать по три миллиона, чтоб получить эти самые 20 миллионов. Считается это тривиально:

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $\left( <_<1>>;q \right)$ считается по формуле:

Так как если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.

А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:

Сам по себе % считается по следующей формуле:

Эту формулу также следует знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.

Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?

У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают в почти всех учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать при помощи классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.

Ну и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.

Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не при помощи таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому снова повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.

Проценты по кредитам

С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.

Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При всем этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сего времени ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.

Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При всем этом согласно договору он должен платить xрублей за месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При всем этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:

Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты.\[\left( \left( 3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]А сейчас давайте раскроем скобки и поглядим, какая у нас будет сумма к концу 4-ого года откладывания средств:\[\begin& \left( \left( 3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot <<1,15>^<2>>+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot <<1,15>^<3>>+3m\cdot <<1,15>^<2>>+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left( <<1,15>^<3>>+<<1,15>^<2>>+1,15+1 \right)= \\& =3m\left( 1+1,15+<<1,15>^<2>>+<<1,15>^<3>> \right) \\\end\]

И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после чего человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей за месяц:

Далее к концу второго месяца уже на эту сумму будут вновь начислены проценты:

\[\left( 2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]

И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.

Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности снова увеличивается на 20%:

\[\left( \left( 2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

Вот этой формулой мы только-только и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна $<<1,2>^<3>>$. К сожалению, в данном случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:

Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:

Таким макаром, даже, невзирая на то, что банк начисляет довольно маленький процент на наши вклады (15%), уже через 5 лет эти самые 15% дают надбавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При всем этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк.

\[\left( \left( 2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 — x=0\]Пред нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии.

Переписываем наше выражение:

Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:

На самом деле, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:

Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, при помощи которой считается более 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.

В большинстве случаев в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.

Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Итак вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при всем этом совершенно не задумываются о последствиях в конечном итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.

Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно при помощи этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах раз в год будет возрастать в 1,15 раза. Напомню формулу:Давайте посчитаем, сколько средств будет на ваших счетах после каждого года:В 1-ый год, когда вы только начнете откладывать средства, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:

Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике

Пример № 1

Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого будущего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т .е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т .е. за четыре года)?

Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:

Кредит нам известен — 9282000 рублей.

С процентами мы сейчас разберемся. У нас идет речь о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:

Мы можем составить уравнение:

У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение $<<1,1>^<4>>$:

Получим:Знаменатель мы можем тут же посчитать — это будет 1,13, а вот в числителе, также слева перед переменной $x$ у нас стоит коэффициент $<<1,13>^<2>>$. Предлагаю посчитать данное выражение отдельно:

В настоящем экзамене такой задачи, вероятнее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.

Пример № 2

31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого будущего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если б смог выплатить долг за 2 равных платежа.

Пред нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:

Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:

Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить снова те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:

Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение $<<1,2>^<3>>$:

Переписываем наше выражение:

Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за всегда пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо снова умножить на три. Давайте посчитаем:

Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.

Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:

Но это еще не все, так как сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно вдвое больше:

Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но направьте внимание: ни при каких обстоятельствах мы еще не получили окончательный ответ, так как за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:

Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.

Видите ли, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, все же, до сего времени используются именно таблицы.

Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из числа тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. По сути эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за всегда пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при всем этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.

Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните данный факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на данную тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.

Пример № 3

Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого будущего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей.Давайте рассчитаем еще 4-ый год. Снова же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, множится на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, так как в течение 4-ого года вы также работали и также откладывали средства:

Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:

Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$.Теперь перепишем уравнение:Все, наша задача с процентами решена.Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике.

Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:

Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.

Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит только на два года, так как здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Да и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.

В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.